Four-Bar Linkage Simulator & Grashof Condition Calculator
현재 설정된 4절 링크 파라미터와 조립 모드(Open / Crossed)를 기준으로 계산된 1사이클 전체의 커플러 추적점 P(x, y) 궤적 및 기구학 해석 데이터를 파일로 저장할 수 있습니다.
평면 4절 링크 메커니즘(Planar Four-Bar Linkage)은 네 개의 강체 링크가 네 개의 회전 조인트(핀)로 연결되어 단일 자유도(1-DOF) 폐루프를 이루는 가장 기본적인 기구학 장치입니다. 고정 프레임 링크 L1(고정 피벗 O2와 O4 사이), 입력 크랭크 L2(O2–A), 커플러 링크 L3(A–B), 출력 링크 L4(O4–B)로 구성됩니다. 네 링크 중 가장 짧은 링크의 길이를 s, 가장 긴 링크의 길이를 l, 나머지 두 중간 링크의 길이를 p, q라 할 때, 네 링크가 닫힌 사각형을 조립하려면 우선 최장 링크가 나머지 세 링크의 합보다 작거나 같아야 합니다(l ≤ s + p + q).
그라쇼프 법칙(Grashof's Law)은 s + l ≤ p + q 조건의 성립 여부로 링크의 전회전 가능성을 판별합니다. s + l < p + q인 그라쇼프 기구에서는 적어도 하나의 링크가 360° 완전 회전을 할 수 있으며, 최단 링크(s)의 위치에 따라 기구의 특성이 결정됩니다. 입력 링크 L2가 최단 링크이면 L2는 360° 전회전하고 출력 링크 L4는 일정 각도 범위를 왕복 요동하는 크랭크-로커(Crank-Rocker)가 됩니다. 고정 링크 L1이 최단 링크이면 입력 L2와 출력 L4가 모두 360° 전회전하는 이중 크랭크(Double-Crank 또는 Drag-Link)가 되며, 커플러 L3가 최단 링크이면 양쪽 피벗 링크(L2, L4)가 모두 왕복 요동하는 그라쇼프 이중 로커(Double-Rocker)가 되고, 출력 링크 L4가 최단 링크이면 입력 L2는 왕복 요동하고 출력 L4가 360° 전회전하는 로커-크랭크(Rocker-Crank)가 됩니다. s + l = p + q이면 모든 링크가 일직선으로 정렬되는 사점(분기점)을 지나는 체인지포인트(Change-Point) 기구가 되며, s + l > p + q인 비그라쇼프(Non-Grashof) 기구에서는 어떤 링크도 360° 회전할 수 없는 삼중 로커(Triple-Rocker)가 됩니다.
기구학 위치 해석은 O2를 원점(0, 0), O4를 (L1, 0)에 두고 입력각 θ2에 따른 조인트 A(L2·cosθ2, L2·sinθ2)와 O4 사이의 대각선 거리 d = √[(Ax − L1)² + Ay²]를 이용해 수행합니다. 삼각형 O4–A–B에 코사인 법칙을 적용하면 cosψ = (L4² + d² − L3²)/(2·L4·d)를 얻으며, 벡터 O4→A의 방위각 β = atan2(Ay, Ax − L1)에 대해 개방형(Open) 조립 모드는 θ4 = β − ψ, 교차형(Crossed) 조립 모드는 θ4 = β + ψ로 두 가지 해가 결정됩니다. 커플러와 출력 링크 사이의 전달각 γ는 cosγ = (L3² + L4² − d²)/(2·L3·L4)로 계산됩니다. 이어서 벡터 루프 방정식 L2·e^(iθ2) + L3·e^(iθ3) = L1 + L4·e^(iθ4)를 시간 t로 미분하면, 등각속도 입력(α2 = 0) 조건에서 출력 각속도 ω4 = ω2·L2·sin(θ2 − θ3)/[L4·sin(θ4 − θ3)]와 출력 각가속도 α4 = [L2·ω2²·cos(θ2 − θ3) + L3·ω3² − L4·ω4²·cos(θ4 − θ3)]/[L4·sin(θ4 − θ3)]가 수치 미분 오차 없이 해석적으로 정확히 도출됩니다.
고정 링크 L1, 입력 크랭크 L2, 커플러 L3, 출력 링크 L4는 각 조인트 회전 중심 사이의 거리이며 단위는 mm입니다. 모든 링크 길이는 0보다 커야 하며, 학습용 기본값으로는 그라쇼프 크랭크-로커 조건을 만족하는 L1 = 100 mm, L2 = 40 mm, L3 = 80 mm, L4 = 70 mm가 설정되어 있습니다. 입력 각속도 ω는 입력 링크 L2가 반시계 방향(CCW)으로 회전하는 등각속도(rad/s)이며, RPM으로 환산할 때 ω = 2π·RPM/60 관계를 따릅니다(예: 10 rad/s ≈ 95.49 rpm).
커플러 추적점 P의 위치는 커플러 링크 A–B에 고정된 국소 좌표(px, py)로 입력합니다. px는 조인트 A에서 조인트 B를 향해 커플러 중심선을 따라 잰 거리(mm)이고, py는 A→B 벡터에서 반시계 방향(+90°)으로 떨어진 수직 오프셋(mm)입니다. 따라서 전역 좌표는 Px = Ax + px·cosθ3 − py·sinθ3, Py = Ay + px·sinθ3 + py·cosθ3로 계산됩니다. 조립 모드(Assembly Mode)는 동일한 입력각 θ2에서 삼각형 O4–A–B가 형성될 수 있는 두 가지 기하학적 분기인 Open(개방형)과 Crossed(교차형) 중 하나를 선택합니다.
① 왼쪽 패널에 네 링크의 길이(L1 ~ L4)를 입력하고, 화면 중앙 상단의 그라쇼프 판별 배지에서 기구 분류(크랭크-로커, 이중 크랭크, 이중 로커, 로커-크랭크, 체인지포인트, 비그라쇼프)와 입력 링크 L2의 360° 전회전 가능 여부를 먼저 확인합니다.
② 입력 각속도 ω, 커플러 추적점 위치(px, py), 조립 모드(Open / Crossed)를 설정합니다. 조립 모드를 바꾸면 동일한 링크 길이에서도 출력 링크 각도 θ4와 커플러 곡선 형상이 완전히 달라지는 것을 비교할 수 있습니다.
③ 크랭크 각도 슬라이더를 움직이거나 애니메이션 시작 버튼을 눌러 메커니즘의 움직임과 커플러점 P의 잔상 궤적을 관찰합니다. 전회전이 불가능한 로커 기구에서는 애니메이션이 자동으로 조립 가능한 양 끝 사점(Toggle position) 사이를 왕복하며, 슬라이더로 조립 불가 구간에 진입하면 NaN 대신 유효 각도 범위 안내가 표시됩니다.
④ 우측 결과 패널과 하단 그래프에서 출력각 θ4, 현재·최소·최대 전달각 γ, 해석적 각속도(ω3, ω4) 및 각가속도(α3, α4)를 확인하고, 필요 시 CSV 또는 SVG 다운로드 버튼으로 커플러 궤적 데이터를 추출합니다.
기본 설정값인 L1 = 100 mm, L2 = 40 mm, L3 = 80 mm, L4 = 70 mm, 입력 각속도 ω2 = 10 rad/s, 입력각 θ2 = 60°, 커플러 추적점 px = 40 mm, py = 20 mm, 조립 모드 Open(개방형)을 대입해 직접 검산해 보겠습니다. 먼저 최단 링크 s = 40 mm(L2), 최장 링크 l = 100 mm(L1), 나머지 두 링크 p = 70 mm, q = 80 mm이므로 s + l = 140.0 mm < p + q = 150.0 mm가 성립합니다. 최단 링크가 입력 크랭크 L2이므로 이 기구는 그라쇼프 크랭크-로커이며 L2는 360° 전회전이 가능합니다.
θ2 = 60°일 때 조인트 A의 좌표는 Ax = 40·cos60° = 20.00 mm, Ay = 40·sin60° = 34.64 mm(20√3 mm)입니다. 고정 피벗 O4(100, 0)에서 A까지의 거리는 d = √[(20 − 100)² + (20√3)²] = √(6400 + 1200) = √7600 ≈ 87.18 mm이며, 방위각은 β = atan2(34.6410, −80) = 156.59°입니다. 삼각형 O4–A–B의 코사인 법칙에서 cosψ = (70² + 7600 − 80²)/(2·70·√7600) = 6100/(140√7600) ≈ 0.499801이므로 ψ = 60.01°이고, 개방형(Open) 출력 링크 각도는 θ4 = β − ψ = 156.5868° − 60.0133° = 96.57°가 됩니다. 이때 조인트 B 좌표는 Bx = 100 + 70·cos96.5734° = 91.99 mm, By = 70·sin96.5734° = 69.54 mm이며, 커플러 각도는 θ3 = atan2(69.5398 − 34.6410, 91.9866 − 20) = 25.86°입니다.
현재 각도에서의 전달각은 cosγ = (80² + 70² − 7600)/(2·80·70) = 3700/11200 ≈ 0.330357에서 γ = 70.71°(즉 θ4 − θ3 = 96.57° − 25.86° = 70.71°)로 구해집니다. 1사이클 전체에서 최소 전달각은 θ2 = 0°(d_min = 60 mm)일 때 cosγ_min = (6400 + 4900 − 3600)/11200 = 11/16 = 0.6875로부터 γ_min = 46.57°이고, 최대 전달각은 θ2 = 180°(d_max = 140 mm)일 때 cosγ_max = (6400 + 4900 − 19600)/11200 = −83/112 ≈ −0.741071로부터 γ_max = 137.82°입니다. 커플러 추적점 P는 Px = 20 + 40·cos25.8639° − 20·sin25.8639° = 47.27 mm, Py = 34.6410 + 40·sin25.8639° + 20·cos25.8639° = 70.09 mm에 위치합니다. 마지막으로 해석적 속도·가속도 공식에 ω2 = 10 rad/s를 대입하면 커플러 각속도 ω3 = −3.16 rad/s, 출력 각속도 ω4 = 3.40 rad/s, 커플러 각가속도 α3 = 35.33 rad/s², 출력 각가속도 α4 = 58.14 rad/s², 커플러점 선속도 |v_P| = 260.73 mm/s가 산출됩니다.
본 시뮬레이터의 모든 수식은 링크가 외력에 의해 휘어지거나 늘어나지 않는 이상적인 강체(Rigid Body)이며, 핀 조인트에 유격(Clearance/Backlash)과 마찰이 없고, 입력 크랭크가 일정한 각속도 ω(즉 입력 각가속도 α2 = 0)로 구동된다는 순수 기구학(Kinematics) 가정을 따릅니다. 실제 기계에서는 링크의 질량과 회전 관성 모멘트에 의한 관성력, 모터의 토크-속도 특성 변화로 인해 구동 각속도 자체가 주기적으로 변동할 수 있습니다.
또한 개방형(Open)과 교차형(Crossed) 두 조립 모드는 기하학적으로 별개의 분기(Branch)이므로, 체인지포인트 기구나 사점(Toggle position)을 통과하는 특수 조건이 아니라면 작동 도중 한 모드에서 다른 모드로 물리적으로 건너뛸 수 없습니다. 전달각 γ가 0° 또는 180°가 되는 사점·분기점에서는 속도·가속도 일반식의 분모인 sin(θ4 − θ3)가 0이 되어 자코비안(Jacobian) 특이점이 발생하므로, 순간 운동이 미정 상태가 되어 일반 속도·가속도 공식을 그대로 적용할 수 없습니다(일반 사점 근처에서는 속도·가속도가 급격히 커지지만, 평행사변형 체인지포인트의 연속 분기처럼 유한한 극한을 갖는 경우도 존재합니다). 또한 실제 기구에서 사점 부근은 걸림(Locking)이나 큰 베어링 반력이 발생하므로, 실무 설계에서는 예각 기준 최소 전달각이 40°(엄격한 고속 기구는 45°) 이상이 되도록(즉 40° ≤ γ ≤ 140°) 치수를 선정하고 동역학 및 강도 해석을 별도로 수행해야 합니다.
Q1. 그라쇼프 조건(s + l ≤ p + q)을 만족하는데 왜 입력 크랭크 L2가 360° 회전하지 못하나요?
그라쇼프 조건은 네 링크 중 '적어도 하나의 링크(최단 링크 s)'가 인접 링크에 대해 360° 회전할 수 있음을 보장할 뿐, 구동 입력축 L2가 항상 전회전한다는 뜻이 아닙니다. 입력 링크 L2가 고정 프레임에 대해 360° 전회전하려면 최단 링크 s가 고정 링크(L1, 이중 크랭크)이거나 입력 링크(L2, 크랭크-로커)여야 합니다. 반면 커플러(L3)가 최단 링크이면 커플러만 회전하고 입·출력 링크는 모두 왕복하는 이중 로커(Double-Rocker)가 되며, 출력 링크(L4)가 최단 링크이면 출력축 L4는 전회전 가능하지만 입력축 L2는 일정 각도 구간만 왕복하는 로커-크랭크(Rocker-Crank)가 됩니다.
Q2. 전달각(Transmission Angle)은 어떤 범위로 설계하는 것이 좋나요?
전달각 γ는 커플러 링크(L3)에서 출력 링크(L4)로 힘이 전달될 때 두 링크가 이루는 각도로, 90°일 때 회전 토크를 가장 효율적으로 전달합니다. 일반적으로 전체 운전 구간에서 γ가 40° ~ 140° 범위(90°에서 ±50° 이내, 즉 예각 기준 40° 이상)를 유지하도록 설계하는 것을 권장하며, 그보다 작거나 180°에 가까우면 측압 증가와 사점 걸림 위험이 커집니다.
Q3. Open(개방형)과 Crossed(교차형) 조립 모드는 무엇이 다른가요?
고정 피벗 O4와 크랭크 핀 A의 위치가 정해졌을 때, 길이 L3인 커플러와 길이 L4인 출력 링크가 만나는 교점 B는 대각선 O4–A를 기준으로 대칭인 두 곳에 생길 수 있습니다. 두 링크가 서로 교차하지 않는 배치를 Open(개방형), 링크가 대각선을 가로질러 교차하는 배치를 Crossed(교차형)라 부르며, 초기 조립 시 핀을 어느 쪽 위치에 꽂느냐에 따라 결정됩니다.